Javascript must be enabled in your browser to use this page.
Please enable Javascript under your Tools menu in your browser.
Once javascript is enabled Click here to go back to �нтеллектуальная Кобринщина

Work with Statistical Distributions - Wolfram Mathematica

Работа со статистическими распределениями

Статистические распределения находят применение в различных областях знаний, включая биологию, социальные и естественные науки. Mathematica представляет статистически е распределения в виде символьных объектов. Вы можете находить свойства, результаты и случайные числа для сотен встроенных или пользовательских распределений, применяя встроенные в Mathematica функции к объектам.

Статистические распределения являются объектами Mathematica:

In[1]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_1.gif

Out[1]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_2.gif

Можно воспользоваться функцией PDF, чтобы получить плотность вероятности для распределения:

In[2]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_3.gif

Out[2]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_4.gif

Численный результат может быть получен после ввода значений для ?, ? и x.

Например, рассчитаем плотность для численных значений ?, ? и x:

In[3]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_5.gif

Out[3]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_6.gif

Естественно, символьные результаты могут далее использоваться в других функциях и выражениях.

Здесь функция плотности показана на графике при заданных значениях ? и ?:

In[4]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_7.gif

Out[4]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_8.gif

При помощи встроенных в Mathematica функций, легко оценивать характеристики рядов, такие как среднее значение, дисперсия, интегральная функция распределения, характеристическая функция.

Вот среднее значение биномиального распределения для 100 попыток с вероятностью выиграша .3:

In[5]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_9.gif

Out[5]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_10.gif

Как и функция плотности вероятности, характеристическая функция однозначно определяет распределение.

Получим общую формулу характеристической функции для распределения Коши:

In[6]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_11.gif

Out[6]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_12.gif

Mathematica дает возможность вычислять ожидаемые значения более общего вида, дающие величину, ожидаемую для заданной функции, примененной к случайной величине из заданного распределения. Так,  nWorkWithStatisticalDistributionsRU_13.gif абсолютный момент является ожидаемым значением переменной X возведенной в n
WorkWithStatisticalDistributionsRU_14.gifстепень.  

К примеру, найдем nWorkWithStatisticalDistributionsRU_15.gif абсолютный момент для случайной переменной X в Пуассоновом распределении:

In[7]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_16.gif

Out[7]=

?
BellB[n,?] n?0
0 True

Использование функции  RandomVariate дает возможность генерировать случайные числа из распределений,

Например, вот 10 чисел, сгенерированных из распределения WorkWithStatisticalDistributionsRU_17.gif с 15 степенями свободы:

In[8]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_18.gif

Out[8]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_19.gif

Геометрическое распределение описывает количество попыток до неудачи, где существует вероятность успеха p для каждой попытки.

Сгенерируем 20 чисел из геометрического распределения с параметром вероятности успеха WorkWithStatisticalDistributionsRU_20.gif:

In[9]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_21.gif

Out[9]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_22.gif

Можно также визуализировать пример на фоне теоретического распределения, совмещая графики данных и функций.

Сгенерируем WorkWithStatisticalDistributionsRU_23.gif чисел из гамма-распределения, и сохраним их под именем data:

In[10]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_24.gif

Далее, применим функцию Histogram для построения гистограммы этих значений по шкале плотности вероятности:

In[11]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_25.gif

Out[11]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_26.gif

Чтобы наглядно отобразить функцию теоретической плотности, воспользуемся функцией Plot:

In[12]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_27.gif

Out[12]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_28.gif

И наконец, применим команду Show для отображения двух графиков вместе:

In[13]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_29.gif

Out[13]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_30.gif

Часто требуется оценить значения параметра, исходя из предположения, что массив данных подчиняется определенному распределению. К примеру, найдем прогноз максимально го правдоподобия параметров, используя функцию FindDistributionParameters:

In[14]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_31.gif

Out[14]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_32.gif

При помощи функции EstimatedDistribution, результаты могут быть сгруппированы в объект, представляющий собой распределение:

In[15]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_33.gif

Out[15]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_34.gif

Можно вычислить также и логарифмическое правдоподобие, применив функцию LogLikelihood к оцениваемому распределению:

In[16]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_35.gif

Out[16]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_36.gif

Значение логарифмического правдоподобия главным образом уместно при сравнении со значениями логарифмического правдоподобия других параметров. Создание контурного графика  с помощью функции ContourPlot в окрестности найденных значений обеспечивает качественное сравнение. Точки на определенной линии имеют одинаковое правдоподобие.  

Здесь, белая точка находится в оптимальном месте:

In[17]:=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_37.gif

Out[17]=

WorkWithStatisticalDistributionsRU_38.gif