Javascript must be enabled in your browser to use this page.
Please enable Javascript under your Tools menu in your browser.
Once javascript is enabled Click here to go back to �нтеллектуальная Кобринщина

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

В современной вычислительной технике информация чаще всего кодируется с помощью последовательности сигналов всего двух видов: включено или невключено, намагничено или ненамагничено, высокое или низкое напряжение и т.д. Принято обозначать одно состояние цифрой 0, а другое - 1. Такое представление информации в цифровом виде называют двоичным. Набор (последовательность) из нулей и единиц называют двоичным кодом.

Система счисления - совокупность приемов наименования и обозначения чисел. Системы счисления разделяются на две группы: позиционные и непозиционные. Позиционной называется система счисления, в которой значение цифры зависит от ее места (позиции) в ряду цифр, обозначающих число. Системы, не обладающие этим свойством, называются непозиционными (римская система счисления). Основанием позиционной системы счисления называется число цифр, которое используют при записи.

В ЭВМ часто используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. В восьмеричной системе счисления числа записываются с помощью восьми цифр (0 1 2 3 4 5 6 7). Сама восьмерка записывается двумя цифрами: 10. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо уже располагать шестнадцатью различными символами, используемыми как цифры:

10-я: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16-я: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А  В   С   D  E   F

Пример 1. Переведем десятичное число 45 в двоичную систему счисления.

Правило: Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание и т.д. до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

46 = 1011002.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

  

672 = 12408.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

 

934 = 3А616.

Пример 4. Переведем в двоичную систему счисления положительную десятичную дробь 0.3.

Правило: Чтобы перевести положительную десятичную дробь в двоичную, нужно дробь умножить на 2. Целую часть произведения взять в качестве первой цифры после запятой в двоичной дроби, а дробную часть вновь умножить на 2. В качестве следующей цифры двоичной дроби взять целую часть этого произведения, а дробную часть произведения снова умножить на 2 и т.д. до получения после запятой заданного количества цифр.

  

Дробная часть 0,6 уже была на втором шаге вычислений. Поэтому вычисления будут повторяться. Следовательно в двоичной системе счисления число 0,3 представляется периодической дробью:

0,3 = 0,0(1001)2.

Пример 5. Переведем в двоичную систему счисления положительную десятичную дробь 0,625.

  

0,625 = 0,1012.

Замечание: Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления проводится отдельно для его целой и дробной части.

Пример 6. Переведем в десятичную систему счисления двоичное число 1011,011.

Правило: Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления, нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами-цифрами и найти эту сумму.

1011,0112 = 1•23+0•22+1•21+1•20+0•2–1+1•2–2+1•2–3 =1•8+1•2+1+1•(1/2)2+1•(1/2)3 = 8+2+1+1/4+1/8 = 11,375

1011,0112 = 11,37510.

Пример 7. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

5118 = 5•82+1•81+1•80 =5•64+1•8+1 = 329

5118 = 32910.

Пример 8. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

1•163+1•162+5•161+1•160 = 1•4096+1•256+5•16+1 = 4096+256+80+1 = 4433.

115116 = 443310.

Пример 9. Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную форму.

Правило: Для преобразования двоичного числа в восьмеричное необходимо двоичную последовательность разбить на группы по три цифры справа налево и каждую группу заменить соответствующей восьмеричной цифрой. Аналогично поступают и при переводе в шестнадцатеричную систему, только двоичную последовательность разбивают не на три, а на четыре цифры.



Переведем наше число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

1100001111010110

1 100 001 111 010 110                                                    1100 0011 1101 0110

1   4    1      7     2    6                                                      С       3       D       6

Аналогично осуществляется и обратное преобразование: для этого каждую цифру восьмеричного или шестнадцатеричного числа заменяют группой из трех или четырех цифр. Например:

      A        B         5       1                               1   7       7       2       0       4

   1010   1011   0101   0001                             1   111   111   010   000   100